Kirk besuchte die Saguaro High School in Scottsdale, wo er als Fünf-Sterne-Rekrut galt. Bei Texas A&M startete er sofort als Freshman und erzielte in drei Saisons (2015 bis 2017) insgesamt 2.856 Receiving Yards und 26 Touchdowns. Zweimal führte er die NCAA in der Punt-Return-Statistik an und wurde zweimal ins First-Team All-SEC gewählt. Die Arizona Cardinals wählten Kirk 2018 als 47. Pick im Draft. In vier Saisons in Arizona entwickelte er sich zum verlässlichen Passempfänger und war 2021 mit 77 Receptions und 982 Yards der beste Receiver des Teams. Er wurde ins PFWA All-Rookie Team berufen. Zur Saison 2022 wechselte Kirk mit einem Vier-Jahres-Vertrag über 72 Millionen Dollar zu den Jacksonville Jaguars. Dort erlebte er seine beste NFL-Saison mit 84 Receptions, 1.108 Yards und acht Touchdowns. Verletzungen bremsten ihn in den Folgejahren. 2025 wurde er zu den Houston Texans getradet und kam auf 28 Receptions in der regulären Saison sowie starke Playoff-Auftritte. Seit 2026 spielt er für die San Francisco 49ers.