Sutton besuchte die Brenham High School in Texas, wo er als Tight End und Safety eingesetzt wurde. Am College spielte er für die SMU Mustangs und entwickelte sich schnell zum Top-Receiver. In drei vollen Saisons fing er 195 Pässe für 3.220 Yards und 31 Touchdowns. Zweimal wurde er ins First-Team All-AAC gewählt. Die Denver Broncos sicherten sich Sutton 2018 als dritten Wide Receiver im Draft. Bereits als Rookie fing er 42 Pässe für 704 Yards. In seiner zweiten Saison 2019 gelang der Durchbruch mit einer Pro-Bowl-Nominierung. Eine schwere Knieverletzung kostete ihn fast die komplette Saison 2020. Sutton kämpfte sich zurück und blieb der konstanteste Receiver der Broncos. Bis heute hat er 453 Receptions für 6.357 Yards und 39 Touchdowns gesammelt. 2025 wurde er erneut in den Pro Bowl gewählt. Er ist seit acht Jahren fester Bestandteil der Offense in Denver.